Iсторiя відділу

Відділ теорії диференціальних рівнянь і теорії функцій було засновано у Фізико-механічному інституті АН УРСР 1969 року. Завідувачем відділу з 1969 року по 1996 рік був доктор фізико-математичних наук, професор В.Я.Скоробогатько. З 1996 року завідувачем відділу є доктор фізико-математичних наук В.О. Пелих.

Основними напрямами досліджень відділу є:

- розробка методів якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь з частинними похідними та методів диференціальної геометрії стосовно проблем релятивістської фізики та астрофізики;

- розвиток аналітичної теорії гіллястих ланцюгових дробів та методів наближення функцій багатьох змінних гіллястими ланцюговими дробами.

Дослідження в галузі теорії диференціальних рівнянь з 1989 року продовжено також у створеному на базі лабораторії цього відділу відділі математичної фізики.

Напрями наукових досліджень відділів сформував заслужений діяч науки України, доктор фізико-математичних наук, професор Віталій Якович Скоробогатько. З утворенням відділу теорії диференціальних рівнянь отримала визнання та підтримку з боку Академії наук України діяльність об’єднаних В.Я.Скоробогатьком математиків Львівського університету та політехнічного інституту, які після від’їзду академіка АН УРСР Я.Б.Лопатинського згуртувалися для творчої наукової роботи у Клуб творчих математиків (1964 р.) Діяльність Клубу підтримували своїми доповідями відомі у світі математики, зокрема, В.Петришин, Л.Д.Кудрявцев, Ю.А.Дубінський, В.І.Бернік, В.О.Єфремович, О.О.Дезін, І.І.Данилюк, І.В.Скрипник та інші.

Першими співробітниками відділу, крім В.Я.Скоробогатька, були Б.Й. Пташник, І.В. Коробчук, І.Ф.Клюйник, Х.Й.Кучмінська, П.І.Боднарчук, І.П.Пустомельников.

За час існування відділу близько 50 науковців були його співробітниками. Ними захищено 35 кандидатських та 10 докторських (Б.Й. Пташник, М.С. Сявавко, П.І. Каленюк, Д.І. Боднар, Б.І. Гнатик, М.О. Недашковський, Р.М.Пляцко, В.О.Пелих) дисертацій. Багато з них зараз є провідними фахівцями в установах Академії наук Українт і у вищих навчальних закладах Львова та інших міст України.

Непересічна наукова діяльность професора В.Я.Скоробогатька містила широкий діапазон математичних ідей і різнобічних зацікавлень щодо їх практичних застосувань. Серед його учнів були за освітою математики, фізики, випускники технічних вузів, які розв'язували поставлені ним проблеми.

В 1970-1990 р.р. у відділі розвиваються нові напрямки з якісної теорії диференціальних рівнянь:

1) дослідження коректності низки некласичних крайових задач, розв’язність яких пов’язана з проблемою малих знаменників (Б.Й.Пташник);

2) розробка узагальненого методу відокремлення змінних та дослідження спектральних властивостей крайових задач, в тому числі багатопараметричних, які виникають при застосуванні цього методу (П.І.Каленюк).

Ці напрямки були створені й активно підтримувались професором В.Я.Скоробогатьком.

Із 1975 року у відділі започатковано інтенсивний розвиток багатоточкової геометрії і її застосування до релятивістської фізики та розпочато розв’язання проблем спеціальної та загальної теорії відносності шляхом розвитку і застосування теорії диференціальних рівнянь і диференціальної геометрії. При цьому розвинуто варіант багатоточкової геометрії з метрикою, що є інваріантом дробово-лінійних відображень , збудовано інваріанти групи та спільно з Ю.С. Владіміровим доведено, що така геометрія відповідає бінарним структурам рангу у розвинутій Ю.С.Владіміровим бінарній геометрофізиці (В.Я.Скоробогатько, В.О.Пелих).

У співпраці з академіком Білорусі Ф.І.Федоровим запропоновано метод зображення загального розв’язку універсальної матричної системи рівнянь Федорова у вигляді степеневих рядів (В.Я.Скоробогатько, О.О.Мякіннік).

Досліджено коректність задачі Коші для рівнянь Гільберта-Айнштайна в залежності від приєднаних до них додаткових умов, обгрунтовано та досліджено -коваріантну постановку задачі Коші для цих рівнянь. Запропоновано обґрунтування можливості приєднання додаткових (координатних) умов до рівнянь Гільберта-Айнштайна, яким замінено, як доведено, некоректне застосування одного із тверджень мемуару Рімана. Розвинуто диференціальну геометрію спінорних полів, асоційованих з неінтегровними розподілами, що дозволило довести узагальнену теорему про додатну визначеність гравітаційної енергії в загальній теорії відносності. Встановлено умови відсутності вузлових точок розв’язків подвійно-коваріантних систем рівнянь еліптичного типу, на цій основі встановлено відповідність між існуванням в асимптотично плоскому рімановому просторі спінорного поля Сена-Віттена та перетину розшарування ортонормованих реперів із заданими властивостями. Завдяки цьому розв’язано актуальну проблему встановлення співвідношення між методами Віттена і Нестера доведення теореми про додатну визначеність гравітаційної енергії, запропоновано коректне доведення теореми про додатну визначеність повної енергії гравітаційного поля на максимальних гіперповерхнях в методі локального ортонормованого репера та поширено тензорне доведення теореми на певний клас немаксимальних гіперповерхонь (В.О.Пелих).

Запропоновано метод вирішування зворотнього завдання варіаційного числення з використанням властивостей зовнішніх диференціальних систем в поєднанні зі симетрійними підходами Софуса Лі і застосовано його до механіки Остроградського. Розглянуто релятивістські рівноприскорені рухи, еволюції вздовж гвинтових ліній, рухи з радіаційним тертям, а особлива увага зверталася на варіяційне дослідження руху релятивістської дзиги. На цьому шляху отримано варіаційне узагальнення залежності маси пробної обертової частки від величини її внутрішнього моменту (спіну). Запропоновано процедуру узагальненого перетворення Лежандра й отримано узагальнено-гамільтонівську форму з відповідною пуасонівською структурою. Методами диференціальної геометрії збудовано об’єкти лучності другого порядку для єдиного можливого розширення тривимірного (псевдо)евклідівського простору до простору Кавагучі другого порядку й описано однопараметричну сім’ю геодезійно-самобіжних ліній (Р.Я.Мацюк).

Розвинуто наближений аналітичний опис газодинамічних течій з ударними хвилями та застосування його до розв’язання задач динаміки космічної плазми в області астрофізики високих енергій та космології, зокрема в релятивістській гідродинаміці, в гідродинаміці залишків Наднових зір та в фізиці прискорення космічних променів. Розроблено гідродинамічну модель еволюції залишків наднових в неоднорідному середовищі та розраховано очікувані потоки та спектри жорсткого рентгенівського та гама-випромінювання залишків. Досліджено розвиток великомасштабних космологічних збурень в суміші темної (беззіткнювальної) матерії та баріонного газу, динаміку та астрофізичні прояви космічних струн. Запропоновано пояснення форми спектру космічних променів надвисоких енергій та встановлено область преходу від галактичного до позагалактичного компонента в спостережуваному потоці космічних променів . (Б.І.Гнатик, О.Л.Петрук спільно з І. Тележинським, В.М. Лукашем, Б.С.Новосядлим, В.С. Березінським).

Вивчено специфіку гравітаційної взаємодії за умов ультрарелятивістської швидкості пробної маси з внутрішним обертанням (спіном) відносно джерела поля Шварцшільда та Керра. На підставі аналізу рівнянь Матісона-Папапетру як у їх традиційному зображенні, так і в термінах локальних супутніх величин, розроблено теорію гравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії. У цьому зв’язку досліджено відповідні розв’язки загальноковаріантного рівняння Дірака в полі Шварцшільда. Розроблено метод виділення розв'язків рівнянь Матісона-Папапетру з доповняльною умовою Френкеля-Матісона, які описують рухи власного центра маси пробної маси зі спіном у полі Шварцшільда. Досліджено часткові розв'язки цих рівнянь, спільні для умов Френкеля-Матісона і Тульчиєва-Діксона (Р.М.Пляцко, О.Б.Стефанишин).

В.Я.Скоробогатько в середині 60-х років ХХ-го століття започаткував нову галузь теорії наближень функцій – теорію гіллястих ланцюгових дробів (ГЛД), яка розвивалась ним та його учнями, в основному, в аналітичному напрямку. Зі встановленням формули різниці між підхідними дробами ГЛД почалося інтенсивне вивчення проблеми збіжності. Наприкінці 70-х років ХХ-го століття Х.Й.Кучмінською було запропоновано конструкцію відповідних двовимірних неперервних дробів (ДНД). Для багатовимірних узагальнень неперервних дробів (ГЛД, ДНД) встановлено аналоги багатьох важливих класичних ознак збіжності, таких як теореми Зейделя, Ворпіцького, Слешинського-Прінгсгейма, Ван-Флека, параболічні теореми; досліджено питання їх обчислювальної стійкості; вивчено деякі апроксимативні властивості. Гіллясті ланцюгові дроби також застосовано для побудови наближень відношень гіпергеометричних функцій багатьох змінних, зокрема, функцій Аппеля та Лаурічелли (Д.І.Боднар, Х.Й.Кучмінська, О.М.Сусь, Н.П.Гоєнко).

Ефективність застосування ланцюгових дробів та їх багатовимірних узагальнень в обчислювальній математиці пов’язана з властивістю їх обчислювальної стійкості. Використовуючи зображення розв’язків рівнянь у вигляді дробово-раціональних виразів, одержаних на основі розвинення функцій у ланцюгові дроби або їх багатовимірні узагальнення , побудовано аналоги методу Гауса та Жордана для розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь, нелінійні аналоги методу Рунге-Кутта для розв’язування звичайних диференціальних рівнянь, нелінійні різницеві методи наближеного розв’язування задачі Коші для рівнянь параболічного типу, алгоритми для обчислення багатократних інтегралів, зображення дійсних та –адичних чисел (М.О.Недашковський, Я.М.Глинський, Я.М.Пелех, О.В.Огірко, Ю.В.Мельничук). За допомогою інтегральних ланцюгових дробів (М.С.Сявавко), зображено розв’язки рівнянь Амбарцумяна-Чандрасекара, Лена-Емдена та інших інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь.

Докторські дисертації, виконані у відділі

Пташник Б.Й. „Некласичні крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними“, 1989; спеціальність – диференціальні рівняння.

Сявавко М.С. „Теория и приложение интегральных цепных дробей по мере“, 1990; спеціальність -обчислювальна математика

Каленюк П.І "Узагальнений метод розділення змінних та його застосування" 1992, спеціальність - диференціальні рівняння.

Боднар Д.І. „Питання аналітичної теорії гіллястих ланцюгових дробів“, 1992; спеціальність – математичний аналіз.

Гнатик Б.І. „Нестаціонарні високотемпературні процеси та ударні хвилі в космічній плазмі“, 1997; спеціальність – 01.03.02 – астрофізика, радіоастрономія.

Недашковський М.О. "Методи та алгоритми комп'ютерної алгебри для систем лінійних алгебраїчних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами", 1995; спеціальність - математичне моделювання та обчислювальні методи в наукових дослідженнях

Пляцко Р.М. „Теорія гравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії” , 2003; спеціальність – 01.04.02 -- теоретична фізика.

Пелих В.О. „Локально-коваріантні методи і проблема додатності енергії у загальній теорії відносності “, 2006; спеціальність – 01.04.02 – теоретична фізика.

Петрук О. „Acceleration of cosmic rays in shell supernova remnants “, 2011; спеціальність – 01.03.02 астрофізика, радіоастрономія.

Монографії, опубліковані співробітниками відділу

Бобик О.І., Боднарчук П.І., Пташник Б.Й.,Скоробогатько В.Я. Елементи якісної теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними. – К.: Наук. думка, 1972. – 176 с.

Боднарчук П.І., Скоробогатько В.Я. Гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування. – К.: Наук. думка, 1974. – 272 с.

Каленюк П.І., Скоробогатько В.Я. Якісні методи теорії диференціальних рівнянь. – К.: Наук. думка, 1977. – 123 с.

Скоробогатько В.Я. Исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными. – К.: Наук. думка, 1980. – 244 с.

Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. – М.: Наука, 1983. – 312 с.

Боднар Д.И. Ветвящиеся цепные дроби. – К.: Наук. думка, 1986. – 176 с.

Новіков Л.О., Скоробогатько В.Я. Методи наукових досліджень у математиці. – К.: УМК ВО УРСР, 1988. – 132 с.

Пляцко Р.М. Прояви гравітаційної ультрарелятивістської спін-орбітальної взаємодії. – К.: Наук. думка, 1988. – 148 с.

Скоробогатько В.Я. Дивлюсь на світ як математик. – Львів: Афіша, 1994. – 75 с.

Сявавко М.С. Інтегральні ланцюгові дроби . – К.: Наук. думка, 1994. – 205 с.

Новіков Л.О., Скоробогатько В.Я. Методи математики: розвиток, застосування, суспільне відлуння. – Львів: Слово і комерція, 1995. – 218 с.

Гаврилов М.І., Скоробогатько В.Я., Сявавко М.С. Стійкість математичної моделі сонячної системи і швидкозбіжний метод малого параметра. – Львів, 1996. – 180 с.

У 1999 році Б. Гнатик (в складі авторського колективу) нагороджений премією ім. Барабашова НАН України.

Співробітники відділу виголошували доповіді на міжнародних конференціях у Антверпені, Братиславі, Варні, Варшаві, Відні, Гетінгені, Казані, Кіото, Києві, Кракові, Москві, Празі, Римі, Тронхеймі, Флоренції.

Зусиллями працівників відділу проведені наукові конференції:

„Ланцюгові дроби і їх застосування“, вересень, 1975 р., Львів ;

Міжнародна школа – семінар „Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування“, 18-25 вересня 1994 р., Верхнє Синєвидне – Львів, 19-24 серпня 2002 р., Ужгород.

Спільно з відділом математичної фізики у м. Дрогобичі регулярно проводиться започаткована В.Я.Скоробогатьком періодична конференція „Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь“, яка з 2004 року носить його ім’я. В 2007 році відбулася 8-ма міжнародна математична конференція імені В.Я.Скоробогатька.