---

Про відділ

Відділ алгебри

Відділ алгебри засновано у секторі математики і механіки Фізико-механічного інституту АН УРСР у 1970 р. На посаду його завідувача був запрошений, відомий вже тоді фахівець з лінійної алгебри та теорії кілець, учень академіка Я. Б. Лопатинського, доцент Львівського політехнічного інституту Петро Степанович Казімірський (з 1985 р. – доктор фізико-математичних наук, професор), який очолював відділ до 1990 р. З 1990 р. до березня 2025 р. відділом завідував його учень доктор фізико-математичних наук, професор Василь Михайлович Петричкович. З 2025 р. завідувачем відділу є учень Петра Степановича Казімірського, доктор фізико-математичних наук Щедрик Володимир Пантелеймонович.

Наукові дослідження у відділі проводяться з теорії кілець і матриць над ними та скінченновимірних алгебр Лі, топологічної теорії графів у таких основних напрямах:

- різні типи еквівалентностей матриць та побудова їх простіших форм;

- побудова методів факторизації матриць над кільцями;

- розробка методів розв’язування різних типів матричних рівнянь та дослідження їх розв’язків;

- побудова неспряжених підалгебр скінченновимірних алгебр Лі та вивчення їх структурних властивостей;

- вивчення вкладень та занурень графів у двовимірні поверхні.

З самого початку дослідження у відділі спрямовані на побудову теорії розкладності матричних многочленів на множники. Багато задач, зокрема і прикладного характеру, вимагали відомостей про розкладність матричних многочленів на множники. За відсутності загальної теорії факторизації матричних многочленів автори розв’язували кожну таку задачу своїм способом, використовуючи її специфіку у конкретному випадку. Ці методи виділення регулярних множників із матричних многочленів будувались на використанні класичних понять власних і приєднаних векторів, що відповідають характеристичним кореням матричних многочленів, жорданових ланцюгів тощо.

П.С. Казімірський запропонував принципово новий підхід до задач факторизації матричних многочленів, який ґрунтується на застосуванні введеного нового поняття – значення многочленної матриці на системі коренів многочлена, визначальної матриці та супутньої матриці.

Розв’язано задачу про побудову унітальних дільників із заданими їх характеристичними многочленами матричного многочлена, коефіцієнтами якого є матриці n-го порядку над алгебрично замкненим полем характеристики 0. Вказано достатні умови існування лінійних унітальних дільників матричного многочлена, а також встановлено, що ці умови є необхідними та достатніми, якщо характеристичні многочлени множників є взаємно простими або якщо їх найбільший спільний дільник є взаємно простим з найбільшим спільним дільником мінорів (n-1)-го порядку многочленної матриці. За цих самих умов запропоновано метод побудови унітальних дільників матричних многочленів і доведено, що в цьому випадку унітальні дільники із заданими характеристичними многочленами визначаються єдиним чином і що ця єдиність існує лише за вказаних умов. Отже, повністю розв’язано задачу виділення унітальних множників із матричного многочлена, коли ці множники однозначно визначаються своїми характеристичними многочленами.

У 1977 р. П.С. Казімірським і В.М. Петричковичем введено поняття напівскалярної еквівалентності многочленних матриць і встановлено відносно цієї еквівалентності трикутну форму многочленних матриць над алгебрично замкненим полем характеристики 0 та їх скінченних наборів з інваріантними множниками на головних діагоналях. Це дозволило остаточно розв’язати задачу виділення унітальних множників із матричного многочлена. Вказано критерій існування унітальних дільників із заданою канонічною діагональною формою матричного многочлена над алгебрично замкненим полем характеристики 0, а також розроблено метод безпосередньої побудови таких дільників. Як застосування цих результатів вказано метод розв’язування матричних многочленних рівнянь у загальному випадку. Усі ці результати підсумовані у монографії: Казімірський П.С. “Розклад матричних многочленів на множники.” – К.: Наук. думка, 1981. – 224 с. (Казімірський П.С. “Розклад матричних многочленів на множники|” (видання друге виправлене). – Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, 2015. – 282 с.).

Як метод, що ґрунтується на поняттях власних і приєднаних векторів, що відповідають характеристичним кореням матричних многочленів та жорданових ланцюгів, так і метод, запропонований П.С. Казімірським, можна застосовувати до факторизацій матричних многочленів, коли основне поле – поле комплексних чисел чи будь-яке алгебрично замкнене поле характеристики нуль. Розв’язання задач факторизації матричних многочленів над довільним полем вимагало розробки принципово нових методів.

Спеціальні трикутні форми для многочленних матриць та їх скінченних наборів відносно напівскалярних еквівалентних перетворень були поширені та узагальнені для матриць над довільним полем. На основі цього розроблено методи факторизації матричних многочленів та розв’язування матричних рівнянь над довільними полями. Вказано умови існування унітальних дільників матричних многочленів з умовою паралельності відповідних розкладів многочленів до розкладів їх канонічних діагональних форм або так звані (Φ, Ψ)-факторизації та запропоновано спосіб побудови таких факторизацій. Наведено умови єдиності (Φ, Ψ)-факторизацій з унітальними множниками та унітальних дільників із заданими канонічними діагональними формами матричних многочленів.

Крім загальної задачі про встановлення умов існування унітальних дільників та розробки методів їх побудови для многочленних матриць над різними полями, важливою є задача описання класів розкладних матричних многочленів на унітальні множники, зокрема лінійні, та оцінки числа унітальних дільників та факторизацій многочленних матриць. Встановлено, що унітальний матричний многочлен, характеристичні корені якого мають кратності не більше двох, розкладний на лінійні унітальні множники. Вказано також умови розкладності матричного многочлена на унітальні множники залежно від його степеня, кратностей характеристичних коренів та степенів елементарних дільників, які можуть бути більші від 2, що значно розширило відомі класи розкладних матричних многочленів.

Для матричних многочленів без кратних характеристичних коренів встановлено нижню та верхню межі для кількості його лінійних унітальних дільників та кількості його розкладів на лінійні унітальні множники. Вказано зв’язки між кількістю дільників та звідністю многочленних матриць до кліткових виглядів, зокрема, виділено області для кількостей дільників многочленних матриць, в яких матриці є звідними чи незвідними.

Задача напівскалярної еквівалентності многочленних матриць тісно пов’язана з відомою проблемою про подібність пар та скінченних наборів числових матриць. Оскільки вищенаведена трикутна форма визначається неоднозначно, то виникає задача встановлення повної системи інваріантів та нормальної форми многочленних матриць щодо напівскалярно еквівалентних перетворень. Ця задача розв’язана за певних і досить суттєвих обмежень, зокрема для многочленних матриць без кратних характеристичних коренів, з одним елементарним дільником, з одним відмінним від одиниці інваріантним множником, для маловимірних матриць та в деяких інших випадках. У цьому зв’язку розв’язана задача про подібність відповідних пар та наборів числових матриць.

Як відомо, задача про еквівалентність пар матриць над кільцями, є "дикою", тому її розв’язання надзвичайно складне. Проте для розв’язання багатьох питань необхідні дослідження еквівалентності пар матриць лише з одностороньою спільною перетворювальною матрицею. Щодо такої еквівалентності пар матриць, яка названа узагальненою еквівалентністю, встановлена стандартна форма пар матриць над адекватними кільцями. Виділено класи пар матриць, для яких стандартна форма визначається однозначно, тобто є канонічною. Вказано застосування цієї форми до вивчення мультиплікативних властивостей канонічної діагональної форми матриць. Побудована нормальна форма матриць над кільцями елементарних дільників та інваріанти стосовно односторонніх перетворень.

З використанням цих форм описано з точністю до асоційовності дільники та факторизації матриць над адекватними кільцями та кільцями елементарних дільників. Встановлено критерії єдиності з точністю до асоційовності дільників та факторизацій матриць. Досліджено властивості найбільших спільних дільників та найменших спільних кратних матриць над кільцями елементарних дільників. Метод їх побудови ґрунтується на канонічних діагональних формах та перетворювальних матрицях, які зводять їх до цих форм.

Вивчено властивості кілець Безу, пов’язані зі стабільними рангами кілець. На відміну від класичного, введено поняття дробового стабільного рангу 1,5 кільця. Встановлено, що кільце матриць другого порядку над таким кільцем має той самий стабільний ранг 1,5. Доведено, що повна лінійна група таких кілець розкладається у добуток групи Зеліска, груп нижніх та верхніх унітрикутних матриць. Зауважимо, що співробітник відділу В.Р. Зеліско ввів і вивчав групу матриць, які квазікомутують з фіксованою діагональною матрицею над поліноміальними кільцями у зв'язку з факторизацією матричних многочленів. Ця група поширена і узагальнена для матриць над іншими кільцями і в подальшому отримала назву групи Зеліска. Вона відіграла важливу роль при розробці методів факторизації матриць над комутативними областями елементарних дільників.

Досліджено еквiвалентнiсть матриць у кiльцi матриць та в його пiдкiльцях блочно-трикутних матриць над комутативними областями головних iдеалiв та встановлено зв’язки між ними. Описано факторизацiї в кiльцях блочно-трикутних матриць. Встановлено умови iснування та однозначностi з точнiстю до асоцiйовностi факторизацiй в кiльцi блочно-трикутних матриць. Побудову факторизацiй зведено до факторизацiї дiагональних блокiв блочно-трикутних матриць, тобто матриць менших розмірів та розв’язування матричних лiнiйних різносторонніх рiвнянь, зокрема рівнянь типу Сильвестра.

Описано структуру розв’язкiв матричних многочленних рiвнянь типу Сильвестра. Наведено оцінку для степенiв розв’язкiв залежно вiд степенiв вiдповiдних iнварiантних множникiв та нормальних форм Смiтта матриць-коефіцієнтів. Вказано критерiй єдиностi таких розв’язкiв та запропоновано метод їх побудови. Для односторонніх матричних лінійних рівнянь над комутативними областями елементарних дільників встановлено, що найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне коренів цих рівнянь є їх коренями.

Розглянуто матриці над квадратичними кiльцями та досліджено їх еквівалентність. Введено поняття (z,k)-еквiвалентностi матриць над цими кiльцями та встановлено стандартну форму матриць та їх пар відносно цієї еквівалентності, вивчено її властивості. На основi цієї форми запропоновано способи розв’язування матричних лінійних рiвнянь типу Сильвестра та матричних дiофантових рiвнянь над квадратичними кiльцями. Описано будову розв’язкiв, зокрема виділено розв’язки з мiнiмальними евклiдовими нормами матричних дiофантових рiвнянь над квадратичними евклідовими кiльцями.

Побудова неспряжених підалгебр скінченновимірних алгебр Лі та вивчення їх структурних властивостей. Опис неспряжених підалгебр скінченновимірних алгебр Лі та вивчення структурних властивостей цих підалгебр дають можливість конструктивно розв’язувати різні задачі геометрії, теоретичної і математичної фізики тощо.

Узагальнена група Пуанкаре P(1,4), є найменшою групою, яка містить, як підгрупи, групи симетрії релятивістської та нерелятивістської фізики.

Описано всі неспряжені підалгебри алгебри Лі групи P(1,4). Спряження розглядалося відносно групи внутрішніх автоморфізмів.

Побудовано інваріанти для всіх неспряжених підалгебр алгебри Лі групи P(1,4). Беручи до уваги ці інваріанти проведено симетрійну редукцію та побудовано класи інваріантних розв’язків деяких важливих для геометрії, теоретичної і математичної фізики диференціальних рівнянь.

Сформульовано і доведено критерій еквівалентності функціональних базисів диференціальних інваріантів довільного скінченного порядку для неспряжених підалгебр алгебр Лі локальних груп Лі точкових перетворень. Використовуючи цей критерій побудовано всі нееквівалентні функціональні базиси диференціальних інваріантів першого порядку неспряжених підалгебр алгебри Лі групи P(1,4). На цій основі побудовано класи диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з наперед заданими групами симетрій та проведено часткову попередню групову класифікацію певного класу (1+3)-вимірних рівнянь Монжа–Ампера для одновимірних неспряжених підалгебр алгебри Лі групи Р(1,4).

Класифіковано всі неспряжені підалгебри алгебри Лі групи Р(1,4) (вимірності яких не перевищують 5) в класи ізоморфних підалгебр. З урахуванням цієї класифікації побудовано інваріантні оператори (узагальнені оператори Казіміра) для всіх неспряжених підалгебр алгебри Лі групи Р(1,4), вимірності яких не перевищують 5 та проведено класифікацію симетрійних редукцій (інваріантних розв’язків) деяких важливих для геометрії, теоретичної та математичної фізики диференціальних рівнянь з використанням класифікації всіх неспряжених підалгебр алгебри Лі групи Р(1,4), вимірності яких не перевищують 3.

У 2000-х рр. у відділі розвивався напрям: топологічні напівгрупи та групи (Є.Г. Зеленюк, О.В. Гутік, К.П. Павлик). Вивчалися топологічні та паратопологічні групи, топологічні та напівтопологічні напівгрупи, топологічні інверсні напівгрупи та топологічні напівгратки тощо. Розв’язано проблему Комфорта–ван Мілла про існування нерозкладної неекстремально незв’язної топологічної групи та проблему Бейкера–Хіндмана–Пима про існування в напівгрупі 2×2-прямокутної в’язки.

Поряд з цими напрямами у відділі у різний час виконували дослідження і в інших галузях математики. З 1973 по 1976 рр. з групою учнів О.М. Введенський – учень академіка І.Р. Шафаревича, вивчав алгебричну геометрію. У відділі з 1973 по 1975 рр. працював М.М. Войтович – потім завідувач відділу числових методів математичної фізики Інституту, доктор фізико-математичних наук, професор; над проблемами функціонального аналізу працювала група співробітників, серед яких був О.Г. Сторож – пізніше доктор фізико-математичних наук, професор Львівського національного університету ім. Івана Франка.

Співробітниками відділу захищено шість докторських (П.С. Казімірський, В.М. Федорчук, Є.Г. Зеленюк, В.М. Петричкович, В.П. Щедрик, Б.З. Шаваровський) та 21 кандидатську дисертацію. Підготовлені у відділі висококваліфіковані науковці працюють у багатьох вузах Львова та України. Зокрема, кафедру алгебри і логіки у Львівському національному університеті ім. Івана Франка упродовж багатьох років очолювали доктор фізико-математичних наук, професор М.Я. Комарницький, а згодом – доктор фізико-математичних наук, професор Б.В. Забавський. В.Р. Зеліско – доцент кафедри алгебри і логіки, був багаторічним заступником декана механіко-математичного факультету цього ж університету. Після закінчення механіко-математичного факультету Львівського національного університету ім. Івана Франка вони розпочинали та розвивали свою наукову діяльність у відділі алгебри.

Результати наукових досліджень співробітників відділу підсумовані в дев’яти монографіях та опубліковані у багатьох статтях у високорейтингових журналах, серед яких "Linear Algebra and its Application", "Linear and Multilinear Algebra", "Symmetry", "Applied Mathematics", "Electronic Journal of Linear Algebra", "Journal of Mathematics" та інші. Наукові здобутки співробітники відділу доповідали на багатьох міжнародних математичних конференціях.

Відділ має налагоджені зв’язки з науковцями багатьох установ України та зарубіжжя, зокрема із Університетом Педагогічним ім. Комісії Народної Освіти в Кракові, Інститутом математики та інформатики АН Республіки Молдова, Faculty of Mathematical Sciences of the University of the United Arab Emirates, Al-Ain та ін.

У відділі захищено 6 докторських та понад 20 кандидатських дисертацій.

За результатами досліджень співробітниками відділу опубліковано 9 монографій та низку наукових праць у вітчизняних та закордонних фахових виданнях.

---